Síntese de Fourier

Toda onda é soma de senoides

Em 1822, o matemático Joseph Fourier provou algo surpreendente: qualquer função periódica — não importa quão estranha ou irregular — pode ser escrita como uma soma de senoides com frequências múltiplas inteiras de uma frequência base. Essas senoides componentes são chamadas harmônicos.

A frequência fundamental (1º harmônico) determina o tom percebido. Os harmônicos adicionais determinam o timbre — o que diferencia um violino de uma flauta tocando a mesma nota. Isso explica por que músicos ouvem "riqueza" ou "pureza" no som: mais harmônicos = timbre mais complexo.

Construa uma onda com harmônicos

Arraste o slider para adicionar harmônicos e veja a soma (azul) se aproximar da onda alvo (cinza). Com harmônicos suficientes, a aproximação fica quase perfeita.

Fórmulas da Série de Fourier

// Série de Fourier: qualquer onda periódica = soma de senoides

// Onda quadrada de frequência f:
// f(t) = (4/π) * [ sin(f·t) + sin(3f·t)/3 + sin(5f·t)/5 + ... ]
function squareWave(t, freq, harmonics) {
  let sum = 0;
  for (let k = 1; k <= harmonics; k++) {
    const n = 2*k - 1;                     // 1, 3, 5, 7...
    sum += Math.sin(2*Math.PI * n*freq * t) / n;
  }
  return (4 / Math.PI) * sum;
}

// Dente-de-serra de frequência f:
// f(t) = (2/π) * [ sin(f·t) - sin(2f·t)/2 + sin(3f·t)/3 - ... ]
function sawtoothWave(t, freq, harmonics) {
  let sum = 0;
  for (let k = 1; k <= harmonics; k++) {
    const sign = k % 2 === 0 ? -1 : 1;
    sum += sign * Math.sin(2*Math.PI * k*freq * t) / k;
  }
  return (2 / Math.PI) * sum;
}

A Transformada de Fourier Discreta (análise)

// Transformada de Fourier Discreta (DFT) — a inversa
// Dado um sinal no tempo, encontra suas componentes de frequência

function dft(signal) {
  const N = signal.length;
  const spectrum = [];

  for (let k = 0; k < N/2; k++) {   // só metade (Nyquist)
    let re = 0, im = 0;
    for (let n = 0; n < N; n++) {
      const angle = 2 * Math.PI * k * n / N;
      re += signal[n] * Math.cos(angle);
      im -= signal[n] * Math.sin(angle);
    }
    spectrum.push(Math.sqrt(re*re + im*im) / N);
  }
  return spectrum; // amplitude de cada frequência
}

// FFT (Fast Fourier Transform): O(N log N) vs O(N²) da DFT ingênua
// Web Audio API: AnalyserNode.getFloatFrequencyData() usa FFT internamente
// Applica janela (Hann, Blackman) para reduzir vazamento espectral

Espectrograma em tempo real

Mini projeto: use AnalyserNode do Web Audio API para capturar o espectro de frequências do microfone em tempo real. Renderize como gráfico de barras no Canvas: cada barra representa a amplitude de uma faixa de frequência.

Projeto principal: implemente uma DFT manual em JavaScript (sem bibliotecas): receba um array de amostras PCM, calcule as N/2 componentes espectrais. Visualize como um espectrograma "waterfall" — cada coluna é um frame de FFT, o eixo Y é frequência, cor é amplitude.

Desafio extra: implemente a síntese FM (frequency modulation): use um oscilador "modulador" para modular a frequência de um oscilador "portador". Com modIndex alto, o resultado tem harmônicos ricos que se aproximam de sons de piano e campainha. Compare o espectro FM com o espectro aditivo equivalente.

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